すばるの雑談

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数字に関するおもしろい話5選 

みなさん、こんにちは。すばるです!

今日は久しぶりに数学に関する記事を書きたいと思います。

 

大学で数学を専攻する僕が、数学に対する小難しいイメージを払拭すべく、数学に関するおもしろい話をしていきます。

前回は確率に関する話をしましたが、今回は数字に注目して話を進めていきます。

www.subaru7s.com

 

どれも日常生活で役に立つことはないかもしれませんが、これをきっかけに数学に興味を持ってもらえたら嬉しいです。

知っておけば、明日ドヤ顔できるかも…

 

 

数字に関するおもしろい話

さて、それでは数字に関するおもしろい話をしていきます。

可能であれば、電卓(アプリ)、ペンを用意して、手を動かしながら読んでもらえると、より数学の魅力が伝わると思います。

 

142857の持つおもしろい性質について

突然ですが、142857と聞いてみなさんは何を思い浮かべますか?

 

おそらく、多くの方は何その数字?って感じだと思います。

というか、142857を聞いて、「あー。あれね!」となる方は、相当な数学好きの方or数学マニアの方ですね(笑)

 

実はこの142857という数、巡回数という非常におもしろい性質を持った数なのです。

 

巡回数とは、2倍、3倍、4倍…と乗算したときに、その各桁の数を順序を崩さずに巡回させた数になる、整数のことである。ダイヤル数ともいう。

Wikipedia

上の説明だけではよく分からないと思うので、実際に計算してみましょう!

 

142857×1=142857

142857×2=285714

142857×3=428571

142857×4=571428

142857×5=714285

142857×6=857142

 

お気付きでしょうか?

どの計算結果も元の数字142857が順序を崩さずに巡回した数となっているのです。

 

さらに…

142857×7=999999

と、これまた面白い計算結果になります。

 

 

一見、ただの6桁の数字に見える142857

実はこんなにも面白い性質を秘めているのです。

 

ちなみに、8倍以降についても『先頭の数を移動して一の位に加える』という工夫をしてあげるとこの性質が保たれます。

 

例、142857×8=1142856

の部分を移動しての部分に足すと…

無事、142857となり、巡回数の性質を満たします。

 

巡回数については、142857以外にもいくつか存在するので、気になった方はぜひ調べてみて下さい!

 

 

1…1×1…1について

突然ですが、1×1=?と聞かれたらどうです?

おそらく多くの方はと即答しますよね。
(馬鹿にしているわけではないですよ)

 

次に、11×11=?と聞かれたらどうです?

まずまずの方が、121と即答できるかと思います。

 

では、111×111=?と聞かれたら?

ここら辺から怪しくなってくる人多いですよね。

 

 

しかし、とあることを知っていれば即答できます。

それは、1…1×1…1に隠された対称性です。

 

実は、1…1×1…1の計算結果はきれいな対称性を持っているのです。

111×111の答え、こちらは12321となります。

 

1、121、12321、どの計算結果も実にきれいな対称性を示しています。

 

このことさえ知っておけば、

1111×1111=?とか11111×11111=?
と聞かれても、

1234321123454321といった具合に秒で回答し、ドヤ顔できるわけです。
(いつ聞かれるんだ、というツッコミについてはスルーさせてもらいます。)

 

このような対称性を得られる理由については、紙に筆算をすると、見えてくると思います。

 

ぜひ、この対称性の法則を覚えておき、友達に1…1×1…1=?と聞かれたら、秒で答えてドヤ顔しましょう!

 

 

ABCABCを1001で割ると…

さて、突然ですが、3桁の数を1つ思い浮かべてみて下さい。

 

今日が8月19日ということで、ここでは819を例にします。

思い浮かべた3桁の数を、もう1つ後ろにくっつけて6桁の数にしてください。

819819といった感じですね。

 

そしたら、その数(ここでは819819)を1001で割ってみて下さい。

 

すると…

819819÷1001=819

といった結果になります。

 

お気付きだと思いますが、自分が最初に思い浮かべた3桁の数が答えとなっています。

これはどの3桁の数についても同様の結果(自分が最初に思い浮かべた3桁の数)が得られます。

 

どうです、すごくないですか?

1001ってすげー。そう思ってもらえたら嬉しいです(笑)

 

 

はい、それではネタバラシの方をしていきます。

 

A÷B=Cのとき、C×B=Aになるのは、多くの方がご存知だと思います。

10÷2=5のとき、5×2=10って感じですね。

 

これと同じ感じで、819×1001を考えます。

819×1001=819×(1000+1)
    =819000+819
    =819819

このように1001を(1000+1)と考え、分配法則を活用してあげると、このカラクリが見えてきます。

 

ABCABCを1001で割ったとき、答えがABCになる。

ラクリを知ってしまうと、すごく当たり前のように感じますね。

 

カプレカ数495について

さて、上と同様に3桁の数を思い浮かべてください。

ただし、今回は3桁とも別の数字にしてください。

 

せっかくなので、上の例で使った819を例に説明していきます。

3桁の数を決めたら、各桁を大きい順に並べた数Aと、各桁を小さい順に並べた数Bを用意しましょう。

 

今回の場合、Aが981、Bが189となります。

次に、A-Bを計算します。

981-189=792

 

計算し終えたら、同様の作業を繰り返します。

972-279=693

963-369=594

954-459=495

 

お気付きでしょうか?

495という数字が出てきました。

 

実は、各桁が異なる3桁の数を選んできた際に、今回の作業を繰り返すと、どんな数でも必ず495に行きつくのです。

ちなみに、これをカプレカ数と言います。

※3桁のカプレカ数は495で、4桁のカプレカ数は6174になります。

 

こちらもなかなかおもしろくないですか?

ぜひ、いろんな数で試してみて下さい!

 

 

496に隠された秘密

495に続いて496

一見ただの3桁の数ですが、この数字には数学的に見て多くの魅力が詰め込まれています。

496に隠された秘密の方を紐解いていきたいと思います。

 

 

突然ですが、みなさんは完全数という言葉をご存知ですか?

 

厨二臭さあふれる言葉ですが、列記とした数学用語の1つです。

端的に説明すると、完全数とは、『自分以外の全ての約数を足すと、自分自身の数になる数字』のことです。

 

簡単なもので言えば、完全数です。

6の約数は1、2、3、6ですが、このうち6以外の数を足すと…

1+2+3=6と、自分自身の数になります。

 

試しに8でやってみると、8の約数は1、2、4、8であり、

1+2+4=7となり、8とは一致しません。

 

 

完全数はかなりレアな数字ですが、496完全数に分類されます。

 

完全数がどれくらいレアかですが、小さい順に完全数を並べると
6、28、496、8128、33550336…といった感じです。

数字の飛び具合から完全数のレアさは分かって頂けると思います。

 

496の約数は、1、2、4、8、16、31、62、124、248、496の10個ですが、これらのうち496以外の数をすべて足すと…

1+2+4+8+16+31+62+124+248=496となり、自分自身の数になります。

 

496は完全数であることに加え、約数の個数が10個とキリがいいことも数学的魅力の1つとされています。

 

ちなみに、完全数については、現在、奇数のものは1つも見つかっていません。

 

もし奇数の完全数を見つけた方は、すばるに連絡をください。

僕が全力で卒論で発表し、一躍数学界の時の人となろうと思います(笑)

 

 

さて、話がやや脱線しましたが、496の魅力についての話に戻っていきましょう。

 

496は31という素数とも深く関りがあります。

素数というのは、『1より大きい自然数で、正の約数が1と自分自身のみである数』のことです。

完全数ほどではありませんが、素数もそれなりにレアな数字です。

 

496と31の関り①

496を2で割り続けていくと…

496÷2=248

248÷2=124

124÷2=62

62÷2=31

と、最終的に31に行きつきます。

 

496と31の関り②

1から31までの数を全て足すと…

1+2+3+…+31=496

となります。

 

496と素数31の関係性、おもしろくないですか?

 

 

他にも496を二進数で表すと、

496(十進数)=111110000(二進数)

と、非常にきれいな形になるといった特性も持っています。

 

 

一説には、宇宙の真理を表す数字とも言われている496

調べてみると、他にもおもしろい情報がたくさん出てきそうですね。

 

 

最後に

今回は数字に関するおもしろい話を記事にしました。

数学好きの方はもちろん、数学嫌いの方にも楽しんでもらえたら嬉しいです。

 

数学って小難しいイメージが先行しがちですが、意外とおもしろい一面を持っています。

なお、大学数学は…

 

ぜひ、身近にあふれる数学の魅力に積極的に触れていきましょう!